日本語で徹底解説

フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ

フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ

中学受験では有名すぎる数列ですね。

フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ

ニューヨークのエンパイア・ステート・ビルのレゴブロックを作ってみました。

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おすすめ書籍の紹介がかなり溜まってきましたので順に記事におこしていきたいと思います。(上の画像はWikiより)


見る人から見るとややクセのあるイラストが特徴的です。
もちろん生涯をつづった伝記の絵本なので内容自体はしっかりしていますが,大人が読むと思っている以上に情報量が少なく感じるかもしれません。

フィボナッチってどんな人?


レオナルド・フィボナッチ
中世イタリアの数学者
本名はまた別に存在し,フィボナッチは「ボナッチの息子」を意味する愛称をあらわします。
貿易の仕事で北アフリカ方面を巡り,そこで学んだアラビア数字をヨーロッパ・ローマで広めたことで有名になりました。当時のヨーロッパはローマ数字が使われていました。


フィボナッチの残した「算盤の書」ではアラビア数字だけでなく,エジプト式のわり算方法や単位のこと,利子のことなど幅広く数学の意見がまとめられているそうです。
わかりやすい例を挙げると分数の横線はフィボナッチが広めたそうです。


この算盤の書では,うさぎのつがい(オスとメス)に関する記述があり,これがみなさんのご存知のフィボナッチ数列につながります。

美しいフィボナッチ数列

フィボナッチ数列とは
直前の2つの数を足すと次の数になる数列です。

フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ
中学受験では有名すぎる数列ですね。

6番目までの2乗の数の和は
1+1+4+9+25+64=104となり,これは8×13=104になります。
数が大きくなっても同じことがいえます。

フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ
上の図がその性質を証明できると思います。
この図の場合は
1×1+1×1+2×2+…+13×13+21×21=21×34
がいえます。


フィボナッチ数と黄金比

黄金比
およそ 1:1.618
視覚的に美しく感じる比率で,ピラミッドや神殿,美術品など黄金比を意識したものが過去から数々残る。
身近なものとして名刺やディスプレイの長方形の比率などがある。

フィボナッチ数列とは?〜自然界にも存在する不思議な数列〜

フィボナッチ数列_1

フィボナッチ数列の名前の由来となったフィボナッチは、中世イタリアの数学者でピサのレオナルドとも呼ばれます。フィボナッチは若いころ、父の商売のため、ビザンティン(トルコ)、シチリア、エジプト、シリアなど東地中海沿岸地方を訪れ、そこで当時の進んだアラビア数学を学び、西暦1200 年にピザに戻ってからは、学んだものをまとめて出版しました。しかし、当時のヨーロッパの数学はまだまだ遅れていて、フィボナッチの著作が受け入れられるようになるまで、それから200 年以上の歳月を必要としました。フィボナッチ数列もその著作に書かれていたもので、元のお話は古いインドのサンスクリット語の詞にあるそうです。またこの数列が注目されるようになったのはフィボナッチの著作から600 年以上も後のことで、数論の研究者のエドゥアール•リュカという数学者がこの数列にフィボナッチ数列という名前をつけ、数学的な研究を始めてからのことです。フィボナッチの著作には次のようなお話が載っています。

フィボナッチの木。1年後うさぎは何つがいになるか?

一人の農夫が1つがいの子うさぎをもらいました。子うさぎは1 ヶ月で大人になり、2ヶ月目の直前から子供を生みだします。1つがいのうさぎは1ヶ月ごとに1つがいの子うさぎを生みます。1年後にはうさぎは何つがいになるでしょうか。1つがいとは、オス1 匹メス1 匹の計2 匹のことです。(図1)

フィボナッチ数列_2

図2の木は、フィボナッチの木 と呼ばれています。黄色の丸は1つがいの子うさぎを、青の丸は1 つがいの親うさぎを表します。一番上の頂点をこの木のと言います。奇妙なことに数学ではよく、木をこのように“ 逆さま” に書きます。つまり各頂点から枝が下向きに出ています。この木では頂点から出ている枝の数は 1 本か2 本です。一番下の枝の出ていない頂点をと言います。一番上の頂点(すなわち根)をレベル0、次の頂点をレベル1 フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ と、上から順にレベルを 0, 1, 2, … とつけます。

フィボナッチ数列_3

図2の右側の数字は、そのレベルの頂点の個数を表します。括弧の中は青丸の個数、すなわち親のうさぎのつがいの数です。レベル n の頂点の個数を フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ uₙ で表すことにします。すると

は上で述べたフィボナッチ数列になっています。おもしろいことに、括弧の中もフィボナッチ数列となっています。

もう一度、図2を復習しましょう。レベル n に書かれている uₙ ( uₙ₋₁ ) の uₙ は n ヶ月後のつがい数を、uₙ₋₁ はその中の親うさぎのつがい数を表します。したがって子うさぎのつがい数は、 uₙ – uₙ₋₁ となります。uₙ のつがいの中で、子供を生むのは親のつがいの uₙ₋₁ だけで、つがい数は uₙ₋₁ だけ増加しますから、( n + 1 )ヶ月目のつがい数 uₙ₊₁ は「 uₙ₊₁ = uₙ + uₙ₋₁ 」となります。つまり「前の2項の和が次の項になる」という規則を満たしています。

フィボナッチが定義した数列は 1, 2, 3, 5, 8, … だったのですが、その後最初に 1 が加えられました。最近では1の前にさらに0を加えたものをフィボナッチ数列とすることがあります。

フィボナッチ数列_4

フィボナッチ数列と黄金比

フィボナッチ数列は他にも不思議な性質を持っています。フィボナッチ数列の隣り合った数の比、つまり uₙ₊₁ / uₙ は黄金比の近似値となっています。 nが大きくなると、より正確な黄金比に近づいていきます。「黄金比」は人間が最も美しいと感じる比率とされていて、建造物や商業デザインの中にも登場します。フィボナッチ数列と同様、黄金比も数学史の中で度々取り上げられ、議論されてきました。黄金比に関してはまた次のお話でご紹介したいと思います。

画像1

▼数学Webマガジン・マテマティカ 『バビロニアの数』 皆さんは、むかし南メソポタミア地方に栄えたバビロニアという国をご存知でしょうか。最近になって太古の昔この地に高度な数学や天文学が発展していることが分かってきました。マテマティカWeb連載『 バビロニアの数 』では、60進数という記数法はどのようにして生まれたのか、バビロニアで行われていた高度な計算とはどのようなものだったのか、などバビロニア数学に焦点を当て詳しく紹介しています。ぜひご訪問ください!

全ての植物をフィボナッチの呪いから救い出す

もし、1 つ前の原基と2 つ前の原基の影響がまったく同じだとしたら、新しい原基は、円弧A C B のちょうど真ん中にできるはずだ。しかし、より古い原基の影響は、新しいものよりも弱いと考えるのが妥当である。この図は、簡略化のために、すべての原基を中心(成長点の中心)から等距離に描いているが、実際は、細胞が大きくなるにつれて分裂組織の中心から遠ざかっていくし、阻害因子が時間とともに分解していくかもしれない。では、どのくらい差があると考えるのが妥当だろうか?

実験的なデータがないので、一番シンプルに、原基が古くなるにつれ一定比率で阻害効果が減衰するものと考える。減衰率をαとすると、原基が1 つ古くなるたびに阻害効果は1/ αになる。1 つ前の原基の影響は1/ α,2 つ前の原基の影響は1/ α2 である。その場合、新しい原基はどこにできるだろうか? これにも正確な実験データはない。仕方がないので、一番おおざっぱに「阻害効果は発生源(葉の原基)からの距離に反比例する」としてしまおう。新しい葉の原基は、左右の原基から、円弧ACB を1/ α:1/ α2 に分割する点である. ちょっと、フィボナッチに似てきた。だが、これではまだαの値は決まらない。

そこで今度は、3 つ前の原基の影響まで考慮に入れてみる。図19 のように、新しい原基から3 つ前までの原基までの距離の比は、DC:DB:DA = 1/ α:1/ α2:1/ α3 となる

ここでもう1つ条件を加えたい。それは、「回転の角度は常に一定」である(これはほとんどの植物で保たれている)。この条件を加えると、線分(円弧)DB とAC が等しくなる。となると……

あれ、あれ、あれ? こ、この関係は……、なんか黄金比のと似てる? というか、黄金比の定義そのものだ。

したがって、α = φは自明。まとめると、 ① 1 つ前の原基の阻害効果が一定の比率で減衰する(ただし4 個以上古いものは無視) ② 原基からの阻害効果は距離に反比例する と仮定すれば、自動的に回転角度= 黄金角になってしまうのだ。

この2 つの仮定は、もちろん黄金比の原理に合わせるために作った恣意的なものである。しかし、一番シンプルな仮定であることは間違いなく、結構ありそうな仮定である。しかも、現実に植物の多くはフィボナッチ配列になっているのだ。ということは、この2 つの仮定が実際に正しいことは、かなりの確率であると思うがどうだろう。もしそうであれば,影を作るとか作らないとかには関係なく、必然的に黄金角なのだから、パイナップルや松ぼっくりのらせんの理由も説明には困らない。図14 B で示したように、黄金角の回転をすれば起点の近くには、フィボナッチ数しかないんだから。右向きらせんも左向きらせんも、フィボナッチ数のらせんが必然的にできてしまう。どのフィボナッチ数を選ぶかは、実の円周と種が何個並べるか、で決まるだけ。というわけで、分割点を決めるやり方そのものが、黄金比の定義と同じなので、角度が黄金比になるのは、不思議でも神秘的でもなく、当たり前なのである(もちろんこの仮説が正しかった場合です)。

ウェブデザインに黄金比やフィボナッチ数列など数学的な要素を取り入れる方法

動画でXDを学ぶ総合学習プログラム「Adobe XD Trail」

数学ははるか昔から今日まで芸術や建築のデザインに利用されてきました。しかし、ウェブデザインではあまり利用されていませんでした。数学はクリエイティブなデザインを生産するツールです。これはすべてのデザインを数学に頼るものではなく、数学を友人としてみなすべきであるということです。
ここで紹介する数学的な要素は、すぐに実践できるようにすべてPSDファイルとしてダウンロードすることができます。
※PSDファイルは元記事にてダウンロード可です。

1. 黄金比(黄金四角形)

サイトのキャプチャ

サイトのキャプチャ

2. フィボナッチ数列

サイトのキャプチャ

サイトのキャプチャ

フィボナッチ数列を使用する際、ある特定の固定された幅のレイアウトでは注意が必要です。例えばページ幅を1,000pxとした場合、フィボナッチ数列を使用することが難しくなります。
ウェブのレイアウトにフィボナッチ数列を使用した理想的な数値には610px, 987px, 1,597pxがあり、これらの数値からおよその値を選択することになるでしょう。

ヒマワリ・稲妻…自然界を司る神秘的な「数式」 美・自然のなかの数学(2)

性質1:直前の2数を足した数になっている

性質2:隣り合う数の比が限りなく黄金比に近づく

ひまわりの種(小花)が隙間なく密集しているのも、フィボナッチ数列に沿った種の配列がなされているため。生物は生き残るために数学を用いている

1、1、2、3、5、……とフィボナッチ数列の各数を一辺とする正方形の頂点に沿って曲線を引くと「対数らせん」の一種が描かれる

銀河系の巨大な渦巻きは、フィボナッチ数列を基にした対数らせんの形状によく似ている

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